TEMAT: ZBIORY

1. Zbiory.

2. Relacje między zbiorami.

3. Działania na zbiorach.

4. Prawa rachunku zbiorów.

5. Zbiory liczbowe.

6. Przedziały liczbowe .


Ad.1

Zbiór należy do pojęć pierwotnych i nie podaje się jego definicji.

Zbiory oznaczamy dużymi iterami A, B, C...
Zapis a ∈ A oznacza, że a należy do zbioru A ( a jest elementem zbioru ).
Zapis a ∉ A oznacza, że a nie należy do zbioru A ( a nie jest elementem zbioru ).

Zbiór skończony jest to zbiór, którego wszystkimi elementami są a 1 ; a 2 ; a 3 ;...;a n i zapisujemy go w postaci { a 1 ; a 2 ; a 3 ;...;a n }.

Zbiór jednoelementowy jest to zbiór, którego jedynym elementem jest a i zapisujemy go w postaci { a }. Zbiór jednoelementowy jest szczególnym przypadkiem zbioru skończonego.

Zbiór pusty jest to zbiór, którego nie należy żaden element i zapisujemy go w postaci Ø.

Zbiór nieskończony jest to zbiór, którego nie możemy zaliczyć ani do zbioru skończonego, ani do zbioru pustego. Oznaczamy go symbolem { a 1 ; a 2 ; a 3 ;... } . Do zbiorów nieskończonych należą zbiory liczbowe np.: N, C, R (zbiór liczb naturalnych, całkowitych, rzeczywistych).

Ad.2

RELACJE MIĘDZY ZBIORAMI

Zawieranie się zbiorów (inkluzja)

Zbiór A zawiera się w zbiorze B, jeżeli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B.biór A jest nazywany podzbiorem zbioru B i zapisujemy A ⊂ B




Równość zbiorów

Zbiory A i B są równe , gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B i każdy element zbioru B jest elementem zbioru A. Równość zbiorów A i B zapisujemy A = B.

Przykłady równości zbiorów:
Porównajmy dwa zbiory:
Zbiór liter wyrazu matematyka {M, A, T, E, M, A, T, Y, K, A} i zbiór {A, E, K, M, T, Y}.
Wypisując elementy zbioru, musimy pamietać, że każdy element wystarczy zapisać tylko jeden raz. Widzimy więc, że każdy element pierwszego zbioru jest elementem drugiego zbioru oraz każdy element drugiego zbioru jest elementem zbioru pierwszego.
Możemy więc zapisać równość:
{M, A, T, E, M, A, T, Y, K, A} = {A, E, K, M, T, Y}.



Zbiory równoliczne

Zbiory skończoneA i B są równoliczne , gdy liczba elementów zbioru A jest równa liczbie elementów w zbiorze B i każdy element zbioru B jest elementem zbioru A. Równość zbiorów A i B zapisujemy A = B.

Przykład:
A = {−3, −2, −1, 0} i B = {0, 1, 2, 3} Zbiory A i B są równoliczne (każdy z nich ma po 4 elementy), ale nie są równe, bo ich elementy są różne.



Zbiory rozłączne

Zbiory A i B nazywamy rozłącznymi, jeżeli nie mają one żadnych elementów wspólnych czyli, że A ∩ B ∈ Ø




Iloczyn kartezjański

Zbiór X Y nazywamy iloczynem kartezjański, zbiorów X i Y.
X Y = {(x, y): x ∈ X   ∧   y ∈ Y}.
X X = X2.

Ad.3

DZIAŁANIA NA ZBIORACH

Suma zbiorów

Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór elementów należących do zbioru A lub do zbioru B. Sumę zbiorów oznaczamy symbolem A ∪ B




Różnica zbiorów

Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony z elementów należących do zbioru A i nie należących do zbioru B. Różnicę zbiorów zapisujemy w postaci A \ B




Iloczyn zbiorów

Iloczynem (częścią wspólną) zbiorów A i B nazywamy zbiór elementów należących jednocześnie do zbioru A i do zbioru B. Iloczyn zbiorów zapisujemy symbolem A ∩ B




Dopełnienie zbioru do przestrzeni

Jeżeli Ω jest ustalonym zbiorem i A jest podzbiorem właściwym zbioru Ω to różnicę zbiorów Ω i A nazywamy dopełnieniem zbioru A względem zbioru Ω. Dopełnienie zbioru A oznacza się symbolem A'.

A ∪ A' = Ω      A' = Ω \ A




Ad.4

PRAWA RACHUNKU ZBIORÓW

Przemienność sumy zbiorów A ∪ B = B ∪ A
Przemienność iloczynu zbiorów A ∩ B = B ∩ A
Łączność sumy zbiorów (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Łączność iloczynu zbiorów (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Prawa de Morgana dla zbiorów (A ∩ B)' = A' ∪ B'
(A ∪ B)' = A' ∩ B'
Rozdzielność iloczynu względem sumy zbiorów A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Rozdzielność iloczynu względem sumy zbiorów A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Wnioski z praw rozdzielności A ∪ (A ∩ B) = A
A ∩ (A ∪ B) = A




Ad.5

ZBIORY LICZBOWE

Zbiór liczbowy to zbiór, którego elementem są liczby. Oś liczbowa to prosta, na której ustalono zwrot dodatni, punkt zerowy i jednostkę.
Zbiór liczb naturalnych - N N = {0, 1, 2, ...}
N+ = {1, 2, 3, ...} - zbiór liczb naturalnych dodatnich
Zbiór liczb całkowitych - C C = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
C+ = N+
C− = {..., −3, −2, −1} - zbiór liczb całkowitych ujemnych
Zbiór liczb wymiernych - W W =
Każdą liczbę wymierną można przedstawic w postaci ułamka dziesiętnego skończonego lub rozwinięcia dziesiętnego nieskończonego okresowego.
Zbiór liczb niewymiernych - IW Liczbą niewymierną nazywamy tę liczbę, która nie jest liczbą wynierną, czyli nie daje się przedstawić w postaci , gdzie
p ∈ C i q ∈ C \ {0}.
Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe.
Zbiór liczb rzeczywistych - R Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada na osi liczbowej tylko jeden punkt. Każdemu punktowi na osi liczbowej odpowiada tylko jedna liczba rzeczywista.
R = W ∪ IW    R = R+ ∪ R− ∪ {0}
Związki między zbiorami liczbowymi
    

W ∪ IW = R
W ∩ IW = Ø
N ⊂ C ⊂ W ⊂ R
IW ⊂ R




Ad.6

PRZEDZIAŁY LICZBOWE (a, b ∈ R  i  a < b)

Przedziały ograniczone:
przedział otwarty (a; b) ............... (a; b) = {x: x ∈ R  i  a < x b}   

przedział domknięty <a; b> ......... <a; b> = {x: x ∈ R  i   a ≤ x b}

przedział lewostronnie domknięty lub
prawostronnie otwarty <a; b) ...... <a; b> = {x: x ∈ R  i   a ≤ x b}

przedział prawostronnie domknięty lub
lewostronnie otwarty (a; b> ..........(a; b> = {x: x ∈ R  i   a < x b}

Przedziały nieograniczone:
otwarty (−∞; a) ............................... (−∞; a) = {x: x ∈ R  i   x b}

otwarty (a;+∞) ................................. (a;+∞) = {x: x ∈ R  i   x b}

prawostronnie domknięty (−∞; a> .... (−∞; a> = {x: x ∈ R  i   x b}

lewostronnie domknięty <a; +∞) ...... <a; +∞) = {x: x ∈ R  i   x b}