1. Pisemny egzamin dojrzałości z matematyki I.

2. KANGUR 2004 Junior.

3. Gdzie jest błąd?

4. Uzasadnić.

5. Uzasadnić.

6. Znaleźć 4 liczby.

7. Podzielność liczb.

Ad.1

Zadanie 1.

Zadanie 2.

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny sinx, sin2x, sinx  sin³ x, ... .

a) Wyznaczyć wszystkie wartości x, dla których istnieje suma wszystkich wyrazów danego ciągu. Obliczyć tę sumę.

b) Pierwszy, drugi oraz czwarty wyraz danego ciągu, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego. Wyznaczyć x.

c) Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite x ∈ (-π;π), dla których suma wszystkich wyrazów danego ciągu jest liczbą mniejszą od

Zadanie 3.

Dana jest funkja f(x) = 2^x.

a) Rozwiązać nierówność f(2x + 2) - 12f (x)>0.

b) Określić liczbę rozwiązań równania f(x) • (2 - x²) - 1 = 0, korzystając z wykresów odpowiednich funkcji.

c) Wyznaczyć wszystkie wartości parametru k, dla których równanie k • f(2x) - k • f(x + 2) + f(2x) + k 1 = 0, ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Zadanie 4.

Dany jest trapez równoramienny.

a) Wyznaczyć długość boków tego trapezu, jeśli jego pole jest równe S, jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, a przekątna trapezu dzieli kąt przy dłuższej podstawie na połowę.

b) Krótsza podstawa ma długość b, zaś okrąg wpisany w ten trapez ma promień r. Wyznaczyć długość boków i wysokość tego trapezu w zależności od b i r.

c) Na danym trapezie opisano okrąg o promieniu R tak, że jego średnica jest jednocześnie dłuższą podstawą tego trapezu. Wyznaczyć miarę kąta przy dłuższej podstawie trapezu tak, aby pole trapezu było możliwie największe.

Ad.2

Pytania po 3 punkty

1. Wartość wyrażenia (1-2)-(3-4)-(5-6)-...-(99-100) jest równa:
A) 0 B) 49 C) -48 D) 48 E) 50

2. Andrzej ma kolekcję złożoną z 2004 samochodzików. Połowa z nich jest koloru niebieskiego, jedna czwarta koloru czerwonego, jedna szósta koloru zielonego. Ile jest w tej kolekcji samochodzików w innych kolorach niż wymienione?
A) 167 B) 334 C) 501 D) 1001 E) 1837

3. Ile krawędzi ma ostrosłup posiadający siedem ścian?
A) 8 B) 9 C) 12 D) 18 E) 21

4.Basen ma kształt prostokąta o wymiarach 40m X 60m. Na planie basen ten ma kształt prostokąta o obwodzie 100cm. W jakiej skali sporządzono ten plan?
A) 1:100 B) 1:150 C) 1:160 D) 1:170 E) 1:200

5. Andrzej i Milena mają pewną liczbę monet. Andrzej otrzymał od dziadka dodatkowo pięć monet i wówczas miał dwa razy tyle monet, ile Milena. Gdyby teraz Andrzej oddał babci 12 monet, wówczas miałby ich dwa razy mniej niż Milena. Ile monet miał Andrzej na początku?
A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 45

6. Miary niektórych kątów w czworokącie ABCD zostały zaznaczone na rysunku. Wyznacz miarę kąta ADC wiedząc, że |BC|=|AD|.
A) 30 B) 50 C) 55 D) 65 E 70 (wstaw za tymi cyframi w 6zadaniu stopnie te małe kółeczka)

Ad.3

Gdzie jest błąd?

a+b=c /+a+b
2a+2b=a+b+c /-2c
2a+2b-2c=a+b-c
2(a+b-c)=a+b-c /:(a+b-c)
2=1


Rozwiązanie:

Wszystkie przekształcenia równania a+b=c sa poprawne, ale ostatnie przekształcenie jest niedozwolone.
Dlaczego?
Prosta odpowiedz: a+b-c jest równe zero, a jak dobrze wiemy nie dzielimy przez zero.

Ad.4

Uzasadnić, że suma
9 8 +9 7 +9 6 +9 5 +9 4 +9 3 +9 2 +9
jest liczbą podzielną przez 90.


Rozwiązanie:

9 8 +9 7 +9 6 +9 5 +9 4 +9 3 +9 2 +9 =
= 9 7+1 +9 7 +9 5+1 +9 5 +9 3+1 +9 3 +9 1+1 +9 =
= 9 7 *9+9 7 +9 5 *9+9 5 +9 3 *9+9 3 +9*9+9 =
= 9 7 (9+1)+9 5 (9+1)+9 3 (9+1)+9(9+1) =
= 9 7 *10+9 5 *10+9 3 *10+9*10 =
= 10*(9 7 +9 5 +9 3 +9) =
= 10*(9 6+1 +9 4+1 +9 2+1 +9) =
= 10*(9 6 *9+9 4 *9+9 2 *9+9) =
= 10*9*(9 6 +9 4 +9 2 +1) =
= 90*(9 6 +9 4 +9 2 +1) jest podzielne przez 90.

Ad.5

Uzasadnić, że dla każdego x>3 wyrażenie x 3 -3x 2 -x+3 jest dodatnie.


Rozwiązanie:
x 3 -3x 2 -x+3 =
= x 2 (x-3)-(x-3) =
= (x 2 -1)(x-3) =
= (x+1)(x-1)(x-3)

Dla każdego x>3 → x+1>0, x-1>0, x-3>0,
stąd (x+1)(x-1)(x-3) > 0.

Ad.6

Znaleźć 4 najmniejsze kolejne liczby naturalne nieparzyste, których suma jest podzielna przez 15.


Rozwiązanie:

Cztery kolejne liczby nieparzyste to:
2k-3; 2k-1; 2k+1; 2k+3, gdzie k>1 k∈ N
Suma tych liczb to:
2k-3+2k-1+2k+1+2k+3=8k

Najmniejszą liczba postaci 8k podzielną przez 15 jest:
8*15=120, k=15.

Odpowiedź: Szukanymi liczbami spełniającymi warunki zadania są: 27, 29, 31, 33.

Ad.7

Dla jakich wartości a i b, liczba siedmiocyfrowa o cyfrach 213a54b, jest podzielna przez 45?


Rozwiązanie:

Liczba jest podzielna przez 45, jeśli jest podzielna przez 9 i 5.
Z cechy podzielności liczby przez 9 (liczba jest podzielna przez 9 jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 9) otrzymujemy warunek:
liczba 2+1+3+a+5+4+b = a+b+15 jest podzielna przez 9.
Z cechy podzielności liczby przez 5 (liczba jest podzielna przez 5 jeżeli jej ostatnia cyfra jest 0 lub 5) wynika, że b=0 lub b=5.

Dla b=0 otrzymujemy:
a+15 jest podzielne przez 9, a∈<0;9>,
z liczb z przedziału <0+15;9+15> ≡ <15;24> liczba podzielna przez 9 to liczba 18, czyli a=3.

Dla b=5 otrzymujemy:
a+20 jest podzielne przez 9,
z liczb z przedziału <0+20;9+20> ≡ <20;29> liczba podzielna przez 9 to liczba 27, czyli a=7.

Odpowiedź: Dla a=3 i b=0 oraz a=7 i b=5 liczba postaci 213a54b jest podzielna przez 45.