|
|
|
|
|
1. Wprowadzenie.
2. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa.
3. Elementarne zadania.
4. Matematyczne sposoby opisywania zbiorów i zdarzeń.
5. Przykładowe zadanie maturalne z rachunku prawdopodobieństwa.
Ad.1
| - |
Rachunek prawdopodobieństwa zaczął się kształtować w XVI wieku gdy zaczęto zauważać pewne prawidłowości w grach hazardowych. Pierwszy dostrzegł je i próbował opisać matematyk włoski Geronimo Cardano (1501-1576). |
| - |
Poważniejszy rozwój rachunku prawdopodobieństwa nastąpił w wieku XVII dzięki pracom P. de Fermat'a i B. Pascal'a (matematycy francuscy). |
| - |
Za twórcę rachunku prawdopodobieństwa jako działu matematyki uważamy szwajcarskiego matematyka Jakuba Bernoullie'go, który opracował te zagadnienia w wieku XVII. |
| - |
Duży wkład i szybki rozwój tej nauki nastąpił w XIX wieku dzięki pracom Gaussa, Laplace'a, Pisson'a, Czybyszewa. |
| - |
Pełnego opracowania i sformalizowania doczekał się rachunek prawdopodobieństwa dopiero w wieku XX dzięki pracom A. Kołogomorowa, matematyka rosyjskiego. |
| - |
Rachunek prawdopodobieństwa stał się podstawą nowoczesnej fizyki - fizyki kwantowej opisującej zachowanie się mikrocząstek. Fizycy kwantowi wykazali, że w świecie mikrocząstek obowiązują prawa probabilistyczne czyli oparte na rachunku prawdopodobieństwa. |
Ad.2
| I. |
Rozważając pewne zdarzenia losowe będziemy określać zbiór zdarzeń elementarnych oznaczanych literką Ω. Są to wszystkie możliwe zdarzenia, które mogą zajść w pewnym doświadczeniu losowym np.:
rzut kostką.
Ω={1,2,3,4,5,6}
rzut trzykrotnie monetą:
Ω={(O,O,O);(O,O,R);(O,R,O);(R,O,O);(R,R,R);(R,R,O);(R,O,R);(O,O,R)}
losujemy dwie karty z talii 24 kartowej:
Ω={(9  ,9  )...(9 ,A )...(A  ,A  )}
W matematyce najczęściej każdy obiekt numerujemy co pozwala na wyłączne posługiwanie się liczbami, np. w ostatnim przypadku możemy postąpić następująco:
Karty= 
Wszystkich możliwych par jest bardzo dużo. Zbiór zdarzeń elementarnych można jednak opisać posługując się "domyślnymi" wielokropkami:
Ω={(1,2)(1,3)(1,4)....(1,24)(2,1)(2,3)(2,4)....(2,24)....(24,1)(24,2)....(24,23)}
|
| II. |
Bardzo ważna będzie umiejętność przeliczenia ilości zdarzeń elementarnych. Można zdarzenia wypisać i przeliczyć, wypisać z wielokropkami i domyślnie przeliczyć, zastosować pewne zasady lub wzory do przeliczenia ilości zdarzeń.
n(Ω) - ilość zdarzeń elementarnych.
Dla powyższych przykładów mamy:
| n(Ω 1 )=6 |
| n(Ω 2 )=8 |
| n(Ω 3 )=24·23=552 |
|
| III. |
Wśród zdarzeń elementarnych interesowały nas będą niektóre zdarzenia. Będziemy je nazywali zdarzeniami sprzyjającymi, np. losując 6 liczb w totolotku interesowała nas będzie jakaś wygrana a więc zdarzenie polegające na tym aby wśród sześciu wylosowanych liczb były przynajmniej trzy nasze.
Zdarzenia sprzyjające oznaczamy dużymi literami z początku alfabetu np.:
| A={6} |
-wypadła szóstka |
| B={(O,O,O);(R,R,R)} |
-trzy razy moneta upadła tą samą stroną |
| C={(9 ,9 )...(9 ,9 )...(A ,A )} |
-wylosowane karty tworzą parę |
Będziemy musieli przeliczać ilość zdarzeń sprzyjających. W zadaniach wymienionych wyżej będą to następujące ilości:
| n(A 1 )=1 |
| n(B 2 )=2 |
| n(C 3 )=6·3=18 |
|
| IV. |
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa mówi nam, że prawdopodobieństwo to liczba obliczona ze wzoru:
P(A)= 
P(A) - prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A
n(A) - ilość zdarzeń sprzyjających
n(Ω) - ilość zdarzeń elementarnych
P(A 1 )=  |
P(B 2 )=  =  |
P(C 3 )=  =  =  |
| Uwaga: |
W większości podręczników i na wykładach rachunku prawdopodobieństwa wprowadza się zformalizowany zapis zbiorów zdarzeń. W naszych trzech przykładach zapisy takie wyglądałby następująco:
Ω 1 ={ω: ω={r} ; r∈{1,2,....,6} }
Ω 2 ={ω: ω=(m 1 ,m 2 ,m 3 ) ; m i ∈{O,R} ; i=1,2,3}
Ω 3 ={ω: ω=(k 1 ,k 2 ) ; k 1 ∈{1,....,24} ; k 2 ∈{1,....,24} ; k 1 ≠k 2 }
W naszych wykładach zapisu formalnego nie będziemy wprowadzać, z uwagi na to, iż często jest bardzo skomplikowany i przez uczniów nierozumiany, co zniechęca do nauki rachunku prawdopodobieństwa. Przy obliczaniu prawdopodobieństwa zapis ten niczemu nie służy i jest zbędnym balastem. Ponadto bardziej skomplikowane zdarzenia często nie dają zapisać się w tej formie. |
|
Ad.3.
| Zad.I. |
Rzucamy 2-krotnie kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie ≥ 10?
| Ω={ |
(1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6)
(2,1);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);(2,6)
(3,1);(3,2);(3,3);(3,4);(3,5);(3,6)
(4,1);(4,2);(4,3);(4,4);(4,5);(4,6)
(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6)
(6,1);(6,2);(6,3);(6,4);(6,5);(6,6)}
|
n(Ω)=36
A={(4,6);(5,5);(5,6);(6,6);(6,5);(6,4)}
n(A)=6
P(A)=  =
|
| Zad.II. |
Ze zbioru cyfr Z losujemy 3 cyfry bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo ułożenia z nich (układamy je w kolejności losowania) liczby podzielnej przez 3?
z={1,2,3,4}
| Ω={ |
(1,2,3)(1,2,4)(1,3,4)
(1,3,4)(1,4,2)(1,4,3)
(2,1,3)(2,1,4)(2,3,1)
(2,3,4)(2,4,1)(2,4,3)
(3,1,2)(3,1,4)(3,2,1)
(3,2,4)(3,4,1)(3,4,2)
(4,1,2)(4,1,3)(4,2,1)
(4,2,3)(4,3,1)(4,3,2)}
|
n(Ω)=24
A={(123)(132)(213)(231)(234)(243)(312)(321)(324)(342)(423)(432)}
n(A)=12
P(A)= =  =  |
Ad.4.
| I. |
Matematyczny sposób opisu zbioru zdarzeń, który będziemy omijać z powodów wymienionych wcześniej.
Opis zdarzeń z poprzedniego zadania (Zad. nr 2):
| Ω={ |
ω: ω |
=(c 1 ,c 2 ,c 3 ); |
c i ∈{1,2,3,4}; |
i≠j⇒c i ≠c j } |
|
[1] |
[2] |
[3] |
[4] |
[1] |
Zbiór Ω składa się z elementów ω, po dwukropku następuje opis elementów. |
[2] |
ω jest ciągiem 3 elementowym. |
[3] |
Elementy ciągu należą do zbioru. |
[4] |
Jeśli wskaźniki są różne to i elementy są różne. Elementy nie mogą się powtarzać. |
|
| II. |
My będziemy opisywać zbiór słownie a jeśli się da i jest taka potrzeba przez wypisanie jego elementów. W obliczniu prawdopodobieństw matematyczny opis zdarzeń jak już wspominaliśmy do niczego się nie przydaje. Ważna jest - zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo - ilość zdarzeń w zbiorze. |
| III. |
Przeliczanie zbiorów zdarzeń.
W zbiorach tych mamy do czynienia z ciągami (kolejność ważna) lub podzbiorami (kolejność dowolna).
a) ciągi zapisujemy w nawiasach okrągłych
ω=(a 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n )
b) podzbiory będziemy oznaczali nawiasem klamrowym
ω={z 1 ,z 2 ,z 3 ,...,z n }
W podzbiorach elementy nie będą się powtarzać, a kolejność ich wymieniania jest bez znaczenia.
|
| IV. |
Sposoby przeliczania ilości zdarzeń losowych:
|
| a) |
przy małej ilości zdarzeń wypisujemy je i przeliczamy. |
| b) |
przy większej ilości zdarzeń prostych do usystematyzowania wypisujemy je z wielokropkami i domyślnie przeliczamy. |
| c) |
przy dużych ilościach zdarzeń-ciągów będziemy stosowali regułę mnożenia. |
ω=(c 1 ,c 2 ,c 3 ...c n )
n(Ω)=i 1 ·i 2 ·i 3 ·...·i n
i k -ilość możliwych zmian na każdym miejscu ciągu. Zilustrujemy to przykładem z zadania nr 2:
z={1,2,3,4}
n(Ω)=4·3·2=24
n(Ω)=2·2·2·2·2=32
|
| V. |
Możliwość stosowania reguły mnożenia do zdarzeń będących podzbiorami.
Przy obliczaniu prawdopodobieństwa można zawsze założyć, że kolejność jest ważna, gdyż ilość zdarzeń sprzyjających i elementarnych wzrośnie wówczas proporcjonalnie i otrzymamy te same podobieństwa.
P(A)= 
P(A)= 
Gdzie:
n((Ω))-ilość ciągów
n({Ω})-ilość podzbiorów
|
| Zadanie |
W urnie znajdują się 3 kule białe {1,2,3} oraz 2 czarne {4,5}. Losujemy z urny 2 kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że będą jednokolorowe. |
| Rozwiązanie I |
Rozwiązanie z zastosowaniem podzbiorów.
Z={1,2,3,4,5}
| Ω={ |
{1,2}{1,3}{1,4}{1,5}
{2,3}{2,4}{2,5}
{3,4}{3,5}
{4,5}} |
n(Ω)=10
n(A)=4
P(A)= =  = 
|
| Rozwiązanie II |
Rozwiązanie zadania za pomocą ciągów i reguły mnożenia:
n(Ω)=5·4=20
A={(1,2);(2,1);(1,3);(3,1);(2,3);(3,2);(4,5);(5,4)}
n(A)=8
P(A)=  =
|
Ad.5.
Powyższa elementarna wiedza z rachunku prawdopodobieństwa, pozwala już na rozwiązanie nawet części zadań z poziomu maturalnego.
MATURA II - 2002
| Zadanie I |
Ze zbioru liczb całkowitych spełniających nierówność x 2 -8x≤0
|
| a) |
obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb, których suma wynosi 8, |
| b) |
obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb pierwszych, |
| Rozwiązania. |
x 2 -8x≤0
Z={x: x∈R; x 2 -8x≤0; x∈C}
x 2 -8x≤0
x 2 -8x=0
Δ=b 2 -4ac
Δ=64
 =8
x 1 =  =0
x 2 =  =8
x∈<0,8>
|
| a) |
Wypisujemy zbiór zdarzeń elementarnych. Zdarzenia sprzyjające podkreślimy .
Z={0,1,2,3,4,5,6,7,8}
| Ω={ |
(0,1)(0,2)(0,3)(0,4)(0,5)(0,6)(0,7) (0,8)
(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6) (1,7) (1,8)(1,0)
(2,0)(2,1)(2,3)(2,4)(2,5) (2,6) (2,7)(2,8)
(3,0)(3,1)(3,2)(3,4) (3,5) (3,6)(3,7)(3,8)
(4,0)(4,1)(4,2)(4,3)(4,5)(4,6)(4,7)(4,8)
(5,0)(5,1)(5,2) (5,3) (5,4)(5,6)(5,7)(5,8)
(6,0)(6,1) (6,2) (6,3)(6,4)(6,5)(6,7)(6,8)
(7,0) (7,1) (7,2)(7,3)(7,4)(7,5)(7,6)(7,8)}
|
n(Ω)=8·9=72
n(A)=8
l 1 +l 2 =8
P(A)= =  = 
|
| b) |
Z={2,3,5,7} -liczby pierwsze
Wypisujemy zbiór zdarzeń sprzyjających:
| A={ |
(2,3)(2,5)(2,7)
(3,2)(3,5)(3,7)
(5,2)(5,3)(5,7)
(7,2)(7,3)(7,5)}
|
n(A)=12
n(Ω)=72
P(A)= =  =
|
|
|
|
|
|
|
 |
