1. Proste i płaszyczny w przestrzeni.

2. Graniastosłupy.

3. Ostrosłupy.

4. Trójkąty.

Ad.1

PROSTE W PRZESTRZENI

Dwie proste w przestrzeni mogą przecinać się, być równoległe lub skośne (wichrowate).

Proste równoległe

Jeśli proste są równoległe, to zawierają się w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych.

Proste przecinające się

Proste przecinające się zawierają się w jednej płaszczyźnie i mają jeden punkt wspólny.

Proste skośne

Proste skośne nie są zawarte w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych.

PŁASZCZYZNY W PRZESTRZENI

Dwie płaszczyzny w przestrzeni mogą się przecinać, pokrywać lub być równoległe.

Płaszczyzny przecinające się

Jeżeli dwie płaszczyzny przecinają się, to ich wspólne punkty tworzą prostą, która nazywa się krawędzią przecięcia się płaszczyzn.

Płaszczyzny pokrywające się

α = π   α || π

Płaszczyzny pokrywające się są zaliczane do płaszczyzn równoległych.

Płaszczyzny równoległe

Płaszczyzny równoległe nie mają punktów wspólnych (lub pokrywają się).

Odległość dwóch płaszczyzn równoległych

d = |AB| AB⊥α   (AB⊥π) A∈α   B∈π

Odległość płaszczyzn równoległych jest to długość odcinka AB prostopadłego do tych płaszczyzn, o końcach A i B, które należą odpowiednio do tych płaszczyzn.

POŁOŻENIE PROSTEJ I PŁASZCZYZN

Prosta może przecinać (przebijać) płaszczyznę, być równoległa lub zawierać się w płaszczyźnie (szczególny przypadek równoległości).

Prosta przecinająca płaszczyznę

P∈m   i   P∈π

Prosta przecinająca płaszczyznę ma z tą płaszczyzną dokładnie jeden punkt wspólny.

Prosta równoległa do płaszczyzny

m ||π

Prosta równoległa do płaszczyzny nie ma z płaszczyzną żadnych punktów wspólnych lub zawiera się w tej płaszczyźnie.

Prosta zawierająca się w płaszczyźnie

m∈π	Prostą zawierającą się w płaszczyźnie zaliczamy do prostych równoległych do tej płaszczyzny.

Prosta prostopadła do płaszczyzny

m⊥k,   m⊥l   oraz   m⊥π

Prosta m przecinająca płaszczyzne π w punkcie P jest prostopadła do płaszczyzny π, jeśli jest ona (m) prostopadła do każdej prostej zawartej w płaszczyźnie π i przechodzącej przez punkt P.

RZUT PROSTOKĄTNY

Rzut prostokątny punktu na płaszczyznę

Rzutem prostokątnym punktu P na płaszczyznę α nazywamy punkt P', w którym prosta przechodząca przez punkt P i prostopadła do płaszczyzny α przecina tę płaszczyznę.

Rzut prostokątny figury na płaszczyznę

Rzutem prostokątnym figury na płaszczyznę α nazywamy zbiór rzutów prostokątnych wszystkich punktów tej figury na płaszczyznę α.

Rzut prostokątny prostej na płaszczyznę

	Rzutem prostokątnym prostej m na płaszczyznę π jest punkt P, gdy prosta jest prostopadła do tej płaszczyzny.
	Rzutem prostokątnym prostej m na płaszczyznę π jest prosta m', gdy prosta m nie jest prostopadła do tej płaszczyzny.

Kąt nachylenie prostej do płaszczyzny

α = PAP'

Kątem nachylenia prostej m do płaszczyzny π nazywamy kąt ostry α zawarty między prostą m i jej rzutem prostokątnym m' na tę płaszczyznę.

Kąt dwuścienny i kąt płaski (liniowy) kąta dwuściennego

α - kąt liniowy kąta dwuściennego

Kątem dwuściennym nazywamy każdą z dwóch części przestrzeni na jakie dzielą tę przestrzeń dwie półpłaszczyzny o współnej krawędzi wraz z tymi półpłaszczyznami.

Kątem liniowym kąta dwuściennego nazywamy kąt płaski α otrzymany przez przecięcie kąta dwuściennego płaszczyzną prostopadłą do krawędzi kąta dwuściennego.

Ad.2

Graniastosłup (wielościan) jest figurą przestrzenną, której obie podstawy są równoległymi wielokątami przystającymi, a ściany boczne są równoległobokami. Krawędzie boczne graniastosłupasą równoległe i mają jednakową długość.

Wysokość graniastosłupa jest to odcinek prostopadły do podstaw i zawarty między obydwoma podstawami. Przekątna graniastosłupa jest to odcinek łączący dwa wierzchołki nie leżące na jednej ścianie (np.: BD1).

Wśród graniastosłupów wyróżniamy:

graniastosłupy proste
	Krawędzie boczne graniastosłupów prostych są prostopadłe do obydwóch podstaw, np.: AA1 ⊥ AB  i  AA1 ⊥ A1B1; CC1 ⊥ DC  i  CC1 ⊥ D1C1

graniastosłupy pochyłe
	Podstawy graniastosłupów pochyłych są równoległe, a krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw.

Ze względu na kształt podstawy wyróżniamy graniastosłupy: trójkątne, czworokątne, pięciokątne itd.

Graniastosłupem prawidłowym nazywamy taki graniastosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny (trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny, sześciokąt foremny,...).

Prostopadłościan

Prostopadłościanem nazywamy graniastosłup prosty, którego wszystkie ściany są prostokątami.

a, b - krawędź podstawy, H - wysokość prostopadłościanu (krawędź boczna), c - przekątna podstawy, x - przekątna ściany bocznej, d - przekątna prostopadłościanu, α - kąt nachylenia przekątnej prostopadłościanu do podstawy, β - kąt między krawędzią boczną (wysokością) i przekątną prostopadłościanu.

Pole powierzchni
podstawy	bocznej	całkowitej
Pp = a · b	Pb = 2aH + 2bH	Pc = 2Pp + Pb Pc = 2ab + 2aH + 2bH
Objętość
V = Pp · H V = a · b · H

Sześcian

Sześcianem nazywamy prostopadłościan, który ma wszystkie krawędzie równej długości. Jego wszystkie ściany są kwadratami.

a - krawędź sześcianu, c - przekątna podstawy i ściany bocznej (w sześcianie są równe), d - przekątna sześcianu, α - kąt nachylenia przekątnej sześcianu do podstawy, β - kąt między krawędzią boczną i przekątną sześcianu.

Sześcian jest szczególnym przypadkiem prostopadłościanu.

Pole powierzchni
podstawy	bocznej	całkowitej
Pp = a2	Pb = 4a2	Pc = 2Pp + Pb Pc = 6a2
Objętość
V = Pp · H,  ale H = a V = a3

Graniastosłup prawidłowy trójkątny

Graniastosłupem prawidłowym trójkątnym nazywamy graniastosłup, którego podstawą jest trójkąt równoboczny, a jego ściany boczne są przystającymi (równymi) prostokątami.
	a - krawędź podstawy, H - wysokość graniastosłupa, h - wysokość podstawy, c - przekątna ściany bocznej, α - kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do krawędzi podstawy.

Pole powierzchni
podstawy	bocznej	całkowitej
Pp =	Pb = 3a · H	Pc = 2Pp + Pb Pc = 2 · + 3a · H
Objętość
V = Pp · H,  V = · H

Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Graniastosłupem prawidłowym czworokątnym nazywamy graniastosłup, którego podstawą jest kwadrat, a jego ściany boczne są przystającymi (równymi) prostokątami.
	a - krawędź podstawy, H - wysokość graniastosłupa, c - przekątna podstawy, d - przekątna graniastosłupa, x - przekątna ściany bocznej α - kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy, β - kąt pomiędzy krawędzią boczną i przekątną graniastosłupa.

Pole powierzchni
podstawy	bocznej	całkowitej
Pp = a2	Pb = 4a · H	Pc = 2Pp + Pb Pc = 2a2 + 4a · H
Objętość
V = Pp · H,  V = a2 · H

Ad.3

Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego jedna ściana (podstawa) jest dowolnym wielokątem, a pozostałe ściany są trójkątami o jednym boku wspólnym z podstawą.

Wysokością ostrosłupa nazywamy odcinek prostopadły poprowadzony z wierzchołka ostrosłupa do płaszczyzny podstawy. Ze względu na kształty podstawy wyróżniamy ostrosłupy: trójkątne, czworokątne, pięciokątne itd.

Ostrosłup nazywamy foremnym (prawidłowym),jeżeli jego podstawą jest wielokąt foremny, a spodek wysokości leży w środku koła opisanego na podstawie.

Czworościan foremny

Czworościanem foremnym nazywamy ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi.

hp = |AB| = h =

H - wysokość ostrosłupa, h - wysokość ściany bocznej, |AB| = hp - wysokość podstawy, gdzie |AS| = |AB| oraz |BS| = |AB|, α - kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy, β - kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy, δ - kąt między krawędzią boczną i wysokością ostrosłupa, S - spodek wysokości ostrosłupa.

Pole powierzchni
podstawy	bocznej	całkowitej
Pp =	Pb = 3 ·	Pc = Pp + Pb Pc = 4 · Pc =
Objętość
V = Pp · H,    V = · · H

Ostrosłup prawidłowy trójkątny

Ostrosłupem prawidłowym trójkątnym nazywamy ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt równoboczny, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

hp = |AB| =

H - wysokość ostrosłupa (WS), h - wysokość ściany bocznej(WB), |AB| = hp - wysokość podstawy, gdzie |AS| = |AB| oraz |BS| = |AB|, α - kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy, β - kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy, δ - kąt między krawędzią boczną i wysokością ostrosłupa, S - spodek wysokości ostrosłupa.

Pole powierzchni
podstawy	bocznej	całkowitej
Pp =	Pb = 3 · · a · h Pb = 1,5 · a · h	Pc = Pp + Pb Pc = + 1,5 · a · h
Objętość
V = Pp · H,    V = · · H

Ostrosłup prawidłowy czworokątny

Ostrosłupem prawidłowym czworokątnym nazywamy ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

c =

H - wysokość ostrosłupa (WS), h - wysokość ściany bocznej(WB), c = |AC| - przekątna podstawy, gdzie |AS| = c = |BS| = a α - kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy, β - kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy, δ - kąt między krawędzią boczną i wysokością ostrosłupa, S - spodek wysokości ostrosłupa.

Pole powierzchni
podstawy	bocznej	całkowitej
Pp = a2 Pp = c2	Pb = 4 · · a · h Pb = 2ah	Pc = Pp + Pb Pc = a2 + 2ah
Objętość
V = Pp · H,    V = a2H

Ad.4

Trójkąt jest wielokątem o trzech bokach

Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°. α + β + δ = 180°.

Każdy bok trójkąta jest mniejszy od sumy dwóch pozostałych boków tego trójkąta.
|AB| < |AC| + |BC|, |AC| < |AB| + |BC| i |BC| < |AB| + |AC|


Wysokości trójkąta

Wysokością trójkąta nazywamu odcinek poprowadzony z wierzchołka trójkąta prostopadle do przeciwległego boku lub do przedłużenia tego boku.
Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają sie w jednym punkcie zwanym ortocentrum (p.O).

|DS| = |CD|, |ES| = |AE| oraz |FS| = |BF|

Środkową boku trójkąta nazywamy odcinkiem łączącym środek tego boku z przeciwległym bokiem tego trójkąta. Każdy trójkąt ma trzy srodkowe przecinające się w jednym punkcie (p.S), który nazywamy środkiem ciężkości tego trójkąta.

Punkt S (środek ciężkości) dzieli każdą środkową w stosunku 1:2, czyli:
|DS| = |CS|, |ES| = |AS| oraz |FS| = |BS|.


Odcinki łączące środki boków trójkąta

Odcinki łączące środki boków trójkąta są równoległe do przeciwległych boków i równe ich połowie.

DF||AB i |DF| = |AB|, EF||AC i |EF| = |AC| oraz DE||BC i |DE| = |BC|


Dwusieczne kątów trójkąta

Dwusieczna kąta jest to półprosta dzieląca kąt na połowy. Każdy trójkąt ma trzy dwusieczne przecinające się w jednym punkcie (p.O), który jest środkiem koła wpisanego w trójkąt.

Symetralne boków trójkąta

Symetralną boku trójkąta nazywamy prostą prostopadłą do tego boku, przechodzącą przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w jednym punkcie (p.O), który jest środkiem koła opisanego na tym trójkącie

Środek O koła opisanego na trójkącie może leżeć wewnątrz lub na zewnątrz trójkąta, a w przypadku trójkąta prostokątngo na jego goku (w połowie przeciwprostokątnej).

Trójkąty nie mają środka symetrii.

Trójkąt równoramienny ma jedną oś symetrii i jest ona jednocześnie dwusieczną kąta (δ) zawartego między ramionami oraz pokrywa się z wysokością figury, symetralną i środkową podstawy.

Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii, które są jednocześnie dwusiecznymi kątów, wysokościami, symetralnymi i środkowymi boków figury.

Punkt przecięcia (C) osi symetrii jest środkiem koła wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym.

Podział trójkątów ze względu na boki
równoboczny (dowolny) Każdy bok ma inną długość i każdy kąt ma inną miarę.	równoramienny Ma dwa boki równe i nazywamy je ramionami. Trzeci bok to podstawa. Kąty przy podstawie mają tę samą miarę.	równoboczny Ma wszystkie boki równej długości. Wszystkie kąty wewnętrzne są równe i mają po 60°.

Podział trójkątów ze względu na kąty
ostroktny (dowolny) α < 90° β < 90° δ < 90° Każdy kąt wewnętrzny jest kątem ostrym.	prostokątny C = 90°, α < 90° i β < 90° Ma jeden kąt prosty, a dwa pozostałe są ostre i takie, że α + β = 90°	rozwarty α < 90° β > 90° δ < 90° Ma jeden kąt rozwarty, a dwa pozostałe są ostre.

	ostrokątny	prostokątny	rozwartokątny
równoboczny (dowolny)	α < 90° β < 90° δ < 90°	C = 90° α + β = 90°	90° < α < 180° α < 90° i β < 90°
równoramienny	α = β, α < 90° β < 90°, δ < 90°	α = β = 45° C = 90°	α = β, α < 90° β < 90° 90° < δ < 180°
równoboczny	α = 60°	Nie ma takiego trójkąta	Nie ma takiego trójkąta

Jeżeli boki jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to te trójkąty są przystające.

Jeżeli dwa boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiednich boków i kąta zawartego między nimi w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

Jeżeli bok i dwa kąty do niego przyległe jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiedniego boku i kątów do niego przyległych w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

I cecha	Przyprostokątne jednego trójkąta są odpowiednio równe (przystające) przyprostokątnym drugiego trójkąta.
II cecha	Przyprostokątna i kąt ostry do niej przeciwległy jednego trójkąta są odpowiednio równe przyprostokątnej i kątowi do niej przyległemu w drugim trójkącie.
III cecha	Przyprostokątna i kąt do niej przeciwległy jednego trójkąta są odpowiednio równe przyprostokątnej i kątowi do niej przyległemu w drugim trójkącie.
VI cecha	Przeciwprostokątna i jeden z kątów ostrych jednego trójkąta są odpowiednio równe przeciwprostokątnej i jednemu z kątów ostrych w drugim trójkącie.
V cecha	Przeciwprostokątna i jedna z przyprostokątnych jednego trójkąta są odpowiednio równe przeciwprostokątnej i jednej z przyprostokątnych w drugim trójkącie.

Wyróżniamy trzy cechy podobieństwa trójkątów:

α1 = α2 oraz β1 = β2

Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta są przystające do odpowiednich kątów drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.

Jeżeli stosunki wszystkich boków jednego trójkąta do odpowiednich boków drugiego trójkąta są równe, to trójkąty są podobne.

oraz α1 = α

Jeżeli stosunki dwóch boków jednego trójkąta do odpowiednich boków drugiego trójkąta są równe oraz kąty zawarte między tymi bokami są przystające (równe), to trójkąty te są podobne.

α1 = α lub β1 = β

Jeżeli dwa trójkąty prostokątne mają po jednym kącie ostrym przystającym, to te trójkąty są przystające.

Jeżeli stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta jest równy stosunkowi długości przyprostokątnych drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne.

Jeżeli stosunek długości przyprostokątnej do długości przeciwprostokątnej jednego trójkąta jest równy stosunkowi odpowiedniej przyprostokątnej do przeciwprostokątnej drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne.

różnoboczny	równoranienny	równoboczny
L = a + b + c	L = a + 2b	L = 3a

P = a · h1 P = b · h2 P = c · h3	P = ab sinδ P = ac sinβ P = bc sinα	P = a · h lub P =	P = a · b lub P = c · h	P = a · H lub P = b · h

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. a2 + b2 = c2

TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENIA PITAGORASA

Jeżeli w trójkącie o bokach długości a, b i c zachodzi równość a² + b² = c², to trójkąt jest prostokątny.

Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Środkiem okręgu opisanego jest punkt przecięcia się symetralnych boków trójkąta.

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w połowie przeciwprostokątnej.

Środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym i środek okręgu wpisanegow trójkąt równoboczny pokrywają się.

Promień okręgu opisanego jest: R = h.
Promień okręgu wpisanego jest: r = h.
Zależność między obydwoma promieniami: R = 2r.