1. Funkcja.

2. Funkcja liniowa.

3. Funcja kwadratowa.

4. Funkca wykładnicza.

5. Funkcja homograficzna.

6. Funkcje trygonometryczne.

7. Wielomiany.

Ad.1

Przedstawiony termin funkcji oznacza tylko takie przyporządkowanie, w którym zbiór argumentów i wartości były zbiorami liczbowymi. Istniało jednak wiele własności analitycznych funkcji, takich jak ciągłość, różniczkowalność itp., których to powyższa definicja nie "przewidywała". Wg tej definicji funkcję można było opisać przy pomocy tabelki wartości funkcji. Jednakże w matematyce istnieją funkcje, których nie można tak opisać. W związku z czym powstała konieczność sformułowania ogólnej, precyzyjnej definicji funkcji. Taką definicję podano na gruncie teorii mnogości.
Przez funkcję f odwzorowującą zbiór X w zbiorze Y rozumie się dowolny zbiór par uporządkowanych (x, y), gdzie x∈X i y∈Y (czyli relację X x Y) taki, że dla każdego elementu x∈X istnieje dokładnie jeden y∈Y, oznaczony symbolem f(x) taki, że (x, y)∈f.
Zbiór X nazywa się dziedziną funkcji f lub zbiorem argumentów funkcji f, oznacza się go przez D. Zbiór Y nazywa się przeciwdziedziną funkcji f. Zbiór Y₀ zawierający się w Y złożony z tych elementów y∈Y, dla którego istnieje x∈X takie, że y=f(x), nazywa się zbiorem wartości funkcji. Zbiór wartości nie musi być identyczny z całą przeciwdziedziną.
Funkcję można przedstawić na kilka różnych sposobów:
1. Określając dziedzinę i podając wzór przyporządkowujący argumentom wartości funkcji, np. x∈R, f(x)=2x²+3x-4
2. W przypadku gdy dziedzina zawiera tylko skończoną liczbę argumentów - za pomocą tabelki, np. zestawienie zużycia energii elektrycznej w danym miesiącu.
3. Za pomocą wzoru niejednolitego, np.

4. Za pomocą omówienia słownego.

Aby daną funkcję podaną w postaci wzoru algebraicznego przedstawić przy pomocy ilustracji graficznej, należy zbadać przebieg zmienności funkcji:
1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji.
2. Określić przedziały ciągłości.
3. Wyznaczyć miejsca zerowe i przecięcia z osią Y.
4. Sprawdzić czy funkcja jest: parzysta, nieparzysta lub okresowa.
5. Obliczyć granice na końcach przedziałów.
6. Wyznaczyć jeśli istnieją asymptoty.
7. Przy pomocy pierwszej pochodnej wyznaczyć ekstrema i zbadać monotoniczność funkcji.
8. Przy pomocy drugiej pochodnej zbadać przegięcia funkcji.

Ad.2

FUNKCJA LINIOWA jest to funkcja typu f(x)=ax+b gdzie a jest współczynnikiem kierunkowym funkcji, natomiast b jest wyrazem wolnym. Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Współczynnik kierunkowy funkcji jest równy tangensowi kąta nachylenia się wykresu funkcji do osi odciętych X (a=tgα). Natomiast wyraz wolny b jest to miejsce przecięcia się funkcji z osią Y. Miejsce zerowe funkcji liniowej wylicza się ze wzoru x₀=-b/a. Wartość współczynnika kierunkowego można podzielić na trzy grupy:
1. Współczynnik a<0 - wtedy funkcja jest malejąca.
2. Współczynnik a=0 - wtedy funkcja nosi nazwę funkcji stałej i nie jest zależna od argumentów x.
3. Współczynnik a>0 - wtedy funkcja jest rosnąca.

Ponadto, gdy współczynnik kierunkowy jest liczbą z przedziału a∈(-1; 0) i a∈(0; 1) to funkcja jest bardziej nachylona do osi X niż w przypadku liczb a<-1 i a>1.

Ad.3

FUNKCJA KWADRATOWA (zwana trójmianem kwadratowym), jest to funkcja typu f(x)=a*x²+b*x+c - postać ogólna funkcji kwadratowej. Współczynniki a, b i c są konkretnymi liczbami, przy czym a<>0 (gdy jest równe zero to mamy funkcję liniową). Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Natomiast dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste. Aby obliczyć miejsca zerowa funkcji kwadratowej należy obliczyć najpierw tzw. wyróżnik funkcji kwadratowej oznaczany symbolem D (delta). Wyróżnik ten wyraża się wzorem D=b²-4*a*c. Teraz w zależności od znaku delty mamy konkretną liczbę pierwiastków (miejsc zerowych), mianowicie:

1. gdy D>0 (delta jest dodatnia) - są dwa miejsca zerowe wyrażone wzorami:
   
2. gdy D=0 (delta jest równa zero) - jest jedno miejsce zerowe wyrażone wzorem:
   
3. gdy D<0 (delta jest ujemna) - nie ma rozwiązań (brak miejsc zerowych).

1. postać ogólna - f(x)=a*x²+b*x+c
2. postać kanoniczna - f(x)=a*(x-p)²+q gdzie p=-b/(2*a) i q=-D/(4*a) - w tej postaci mamy jawnie podane współrzędne wierzchołka paraboli W(p,q)
3. postać iloczynowa - f(x)=a*(x-x₁)*(x-x₂) - w tej postaci mamy jawnie podane miejsca zerowe funkcji kwadratowej; gdy funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (D<0) to nie istnieje postać iloczynowa

1. a>0 (dodatnie) - ramiona skierowane w górę, wierzchołek jest minimum funkcji.
2. a<0 (ujemne) - ramiona skierowane w dół, wierzchołek jest maksimum funkcji.

1. Suma pierwiastków - x₁+x₂=-b/a
2. Iloczyn pierwiastków - x₁*x₂=c/a

Ad.4

FUNKCJA WYKŁADNICZA, określona jest wzorem f(x)=a^x. Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Określona liczba a zwana podstawą funkcji wykładniczej jest liczbą dodatnią (a>0). Przeciwdziedzina (wartości funkcji) zawiera się w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich.
Wartość podstawy funkcji wykładniczej można podzielić na trzy przedziały:

1. 0<a<1 - funkcja jest malejąca.
2. a=1 - funkcja jest stała.
3. a>1 - funkcja jest rosnąca.

gdy 0<a<1 to granicą funkcji w nieskończoności jest zero.

Wśród nieskończenie dużej ilości funkcji wykładniczych o różnych podstawach istnieje jedna bardzo ciekawa funkcja o podstawie e (liczba Nepera; e=2,718281828...), jest to funkcja f(x)=e^x - nazywana funkcją eksponencjalną. Cóż ona ma takiego ciekawego, a no to, że pochodna tej funkcji jest nią samą (f'(x)=f(x)), a także styczna do funkcji w punkcie (0;1) jest nachylona do osi OX pod kątem 45^o.

Z definicji logarytmu wiemy, że:
log_ax=y <=> a^y=x.
Wobec czego można dojść do wniosku, że funkcja logarytmiczna jest odwrotnością wykładniczej. Po narysowaniu na jednym wykresie funkcji wykładniczej f(x)=a^x i logarytmicznej f(x)=log_ax widać, że osią symetrii jest prosta (funkcja liniowa) o równaniu f(x)=x.

Ad.5

FUNKCJA HOMOGRAFICZNA jest funkcją wymierną, mającą postać

Liczby a, b, c i d są ustalone, przy czym liczba c<>0. Dlaczego liczba c musi być różna od zera - ponieważ jak by była równa zeru to mianownik byłby liczbą stałą i dany iloraz byłby tylko funkcją liniową. Jest jeszcze jedna własność, którą muszą spełniać te liczby, a mianowicie tzw. wyznacznik D=a*d-b*c<>0. Chodzi o to, aby licznik i mianownik nie miały w sobie takiej samej funkcji liniowej, co po skróceniu dałoby funkcję stałą. Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór wszystkich miczb rzeczywistych oprócz liczby będącej miejscem zerowym mianownika (DÎR\{-d/c}). Natomiast przeciwdziedziną jest zbiór DÎR\{a/c}. Miejscem zerowym tej funkcji jest x₀=-b/a. Jeżeli liczba b jest równa zeru, to funkcja nie ma miejsca zerowego.  Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.

Hiperbola ma dwie asymptoty (poziomą i pionową). Asymptota pozioma jest funkcją stałą wyrażoną wzorem f(x)=a/c, natomiast asymptota pionowa jest zależna od dziedziny (argument nie należący do dziedziny) i ma postać x=-d/c.
Funkcja homograficzna może być na całej swojej długości (poza punktem x=-d/c - asymptotą pionową) malejąca lub rosnąca. Przy określaniu tego faktu korzysta się ze znaku wyznacznika D:

1. Jeśli D>0 - funkcja jest rosnąca.
2. Jeśli D<0 - funkcja jest malejąca.

Najbardziej podstawową funkcją homograficzną jest funkcja o równaniu

Funkcja ta wygląda następująco:

Ad.6

FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE, są to funkcje sinus (sin), cosinus (cos), tangens (tg) i cotangens (ctg).

Funkcja sinus jest funkcją określoną w całej dziedzinie, okresową - okres tej funkcji wynosi 2p. Przyjmuje wartości od -1 do +1. Wykresem funkcji sinus jest krzywa zwana sinusoidą

Funkcja cosinus jest funkcją określoną w całej dziedzinie, okresową - okres tej funkcji wynosi 2p. Jest przesunięta względem funkcji sinus o kąt p/2 (cos(x)=sin(x+p/2)). Przyjmuje wartości od -1 do +1. Wykresem funkcji cosinus jest krzywa zwana cosinusoidą

Funkcja tangens jest funkcją nieokreśloną w punktach p/2+kp, okresową - okres tej funkcji wynosi p. Przyjmuje wszystkie wartości ze zbioru liczb rzeczywistych. Wykresem funkcji tangens jest krzywa zwana tangensoidą

Funkcja cotangens jest funkcją nieokreśloną w punktach kp, okresową - okres tej funkcji wynosi p. Przyjmuje wszystkie wartości ze zbioru liczb rzeczywistych. Jest odwrotnością funkcji tangens - ctg(x)=1/tg(x). Wykresem funkcji cotangens jest krzywa zwana cotangensoidą

Ad.7

WIELOMIANY:

IV Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych
x₀ ∈ W ⇒ x₀ = n/m ∧ n | a₀ ∧ m | a_n
2x³ - 5x² - 4x + 3 = 0
x₀ ∈ W => x₀ = n/m ∧ n | 3 ∧ m | 2 => x₀ ∈ {±&u1-2;;±1&u1-2;}
V Twierdzenie o podziale wielomianów - Tw.Bezou
W(x₀) = 0 ⇔ (x-x₀) | W(x)
x₀ jest pierwiastkiem wielomianu ⇔ gdy wielomian jest podzielny przez (x-x₀)
W(x) = 2x³ - 5x -4x + 3;     x₀ ∈ { ±1;±3}-III Tw.
W(3) = 2*27 - 5*9 - 12 + 3 = 54 - 45 -12 + 3 = 57 - 57 = 0
dzielnik W(x) to (x-3), po przeprowadzeniu dzielenia wynik jest równy 2x² + x - 1
W(x) = (x - 3)*(2x² + x -1) = 0 ⇔ (x-3) = 0 ∨ (2x²+ x - 1) = 0

5.NIerówności wielomianowe
a) Aby rozwiązać nierówność W(x)≥  0 rozwiązujemy najpierw równanie:
    W(x) = 0
b) Rozkładamy zatem wielomiany na czynniki liniowe i kwadratowe W(x) = W¹ * W²...
Znajdujemy wszystkie miejsca zerowe, zwracając uwagę na krotność pierwiastków.
W(x) = (x-2)(x-2)(x² + 5)     x₀=2 pierwiastek dwukrotny
   c) szkicujemy wykres wielomianu

Jest to wykres typu "fala" zależy od stopnia wielomianu.
Przy szkicowaniu bierzemy pod uwagę znak przy najwyższej potędze "x", wykres szkicujemy od prawej strony.
W miejscach zerowych o nieparzystej krotność wielomian zmienia znak!
Niech W(x) = (x-1)(x-2)(x-2)

natomiast w miejscu zerowym o parzystej krotności wielomian nie zmienia znaku.

(nie zmienia znaku, dotyka osi - odbija się od osi)

d) zaznaczamy znaki na wykresie.

- znaki robimy między wykresem a osią X.
- odczytujemy potrzebne przedziały w których wielomian przybiera odpowiedajace nierówności wartości.